自考《线性代数》重难点解析与全真练习(二)
一、重点
1、理解:矩阵的定义、性质,几种特殊的矩阵(零矩阵,上(下)三角矩阵,对称矩阵,对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵)
2、掌握:
1)矩阵的各种运算及运算规律
2)矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法
3)矩阵的初等变换方法
二、难点
1、矩阵的求逆矩阵的初等变换
2、初等变换与初等矩阵的关系
三、重要公式及难点解析
1、线性运算
1)交换律一般不成立,即AB≠BA
2)一些代数恒等式不能直接套用,如设A,B,C均为n阶矩阵
(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2
(AB)k≠AkBk
(A+B)(A-B)≠A2-B2
以上各式当且仅当A与B可交换,即AB=BA时才成立。
3)由AB=0不能得出A=0或B=0
4)由AB=AC不能得出B=C
5)由A2=A不能得出A=I或A=0
6)由A2=0不能得出A=0
7)数乘矩阵与数乘行列式的区别
2、逆矩阵
1)(A–1)–1=A
2)(kA) –1=(1/k)A–1,(k≠0)
3)(AB)–1=B–1A–1
4)(A–1)T=(AT)–1
5)│A–1│=│A│–1
3、矩阵转置
1)(AT)T=A
2)(kA) T=kAT,(k为任意实数)
3)(AB)T=BTAT
4)(A+B)T=AT+BT
4、伴随矩阵
1)A*A=A A*=│A│I (AB)*=B*A*
2)(A*)*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ,(n≥2)
3)(kA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)*
4)若r(A)=n,则r (A*)=n
若r(A)=n-1,则r (A*)=1
若r(A)<n-1,则r (A*)=0
5)若A可逆,则(A*)-1=(1/│A│)A,(A*)-1=(A-1)*,A*=│A│A-1
5、初等变换(三种)
1)对调二行(列)
2)用k(k≠0)乘以某行(列)中所有元素
3)把某行(列)的元素的k倍加至另一行(列)的对应元素
注意:用初等变换①求秩,行、列变换可混用
②求逆阵,只能用行或列变换
③求线性方程组的解,只能用行变换
6、初等矩阵
1)由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵
2)初等阵P左(右)乘A,所得PA(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换
3)初等阵均可逆,且其逆为同类型的初等阵
E-1ij=Eij,E(-1)i(k)=Ei(1/k),E(-1)ij(k)=Eij(-k)
7、矩阵方程
1)含有未知矩阵的等式
2)矩阵方程有解的充要条件
AX=B有解<==B的每列可由A的列向量线性表示
<==r(A)=r(A┆B)
四、题型及解题思路
1、有关矩阵的概念及性质的命题
2、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)
3、矩阵可逆的判定
n阶方阵A可逆<==存在n阶方阵B,有AB=BA=I
<==│A│≠0
<==r(A)=n
<==A的列(行)向量组线性无关
<==Ax=0只有零解
<==任意b,使得Ax=b总有唯一解
<==A的特征值全不为零
4、矩阵求逆
1)定义法:找出B使AB=I或BA=I
2)伴随阵法:A-1=(1/│A│)A*
注意:用该方法求逆时,行的代数余子式应竖着写在A*中,计算Aij时不要遗漏(-1)i+j,当n3时,通常用初等变换法。
3)初等变换法:对(A┆I)只用行变换化为(I┆A-1)
4)分块矩阵法
5、解矩阵方程AX=B
1)若A可逆,则X=A-1B,可先求出A-1,再作乘法A-1B求出X
2)若A可逆,可用初等变换法直接求出X
(A┆B)初等行变换(I┆X)
3)若A不可逆,则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组,然后对每列常数项分别求解。
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