自考《线性代数(经管类)》真题练习:正定二次型(4.09)
单选题
1.设f=X′AX,g=X′BX是两个n元正定二次型,则( )未必是正定二次型。
A.X′(A+B)X
B.X′A-1X
C.X′B-1X
D.X′ABX
正确答案:D
答案解析: 因为f是正定二次型,A是n阶正定阵,所以A的n个特征值λ1,λ2,…,λn都大于零,|A|0,设APj=λjPj,则A-1Pj=Pj,A-1的n个特征值,j=1,2,…,n,必都大于零,这说明A-1为正定阵,X′A-1X为正定二定型,同理,X′B-1X为正定二次型,对任意n维非零列向量X都有X′(A+B)X=X′AX+X′BX0. 这说明X′(A+B)X为正定二次型,由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵,所以X′ABX未必为正定二次型。
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