一、重点

1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。

2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。

3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。

二、难点

线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。

三、重点难点解析

1、 n维向量的概念与运算

1） 概念

2） 运算

若α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T

①加法：α＋β＝（a1+b1 ，a2+b2 ，…，an+bn）T

②数乘：kα＝（ka1，ka2，…，kan）T

③内积：（α。β）＝a1b1+a2b2+，…，+anbn＝αTβ＝βTα

2、线性组合与线性表出

3、线性相关与线性无关

1）概念

2）线性相关与线性无关的充要条件

①线性相关

α1，α2，…，αs线性相关

<==齐次方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0有非零解

<==向量组的秩r（α1，α2，…，αs）＜s （向量的个数）

<==存在某αi（i=1，2，…，s）可由其余s-1个向量线性表出

特别的：n个n维向量线性相关<==│α1α2…αn│＝0

n+1个n维向量一定线性相关

②线性无关

α1，α2，…，αs线性无关

<==齐次方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0只有零解

<==向量组的秩r（α1，α2，…，αs）＝s （向量的个数）

<==每一个向量αi（i=1，2，…，s）都不能用其余s-1个向量线性表出

③重要结论

A、阶梯形向量组一定线性无关

B、若α1，α2，…，αs线性无关，则它的任一个部分组αi1，αi2，…，αi t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。

C、两两正交，非零的向量组必线性无关。

4、向量组的秩与矩阵的秩

1）极大线性无关组的概念

2）向量组的秩

3）矩阵的秩

①r（A）＝r（AT）

②r（A+B）≤r（A）＋r（B）

③r（kA）＝r（A），k≠0

④r（AB）≤min（r（A），r（B））

⑤如A可逆，则r（AB）＝r（B）；如B可逆，则r（AB）＝r（A）

⑥A是m×n阵，B是n×p阵，如AB＝0，则r（A）＋r（B）≤n

4）向量组的秩与矩阵的秩的关系

①r（A）＝A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）＝A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）

②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变

③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，则r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）。特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

5、基础解系的概念及求法

1）概念

2）求法

对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r（A）个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n- r（A）个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。

6、齐次方程组有非零解的判定

1）设A是m×n矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是r（A）＜n，亦即A的列向量线性相关。

2）若A为n阶矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是│A│＝0

3）Ax＝0有非零解的充分条件是m＜n，即方程个数＜未知数个数

7、非齐次线性方程组有解的判定

1）设A是m×n矩阵，Ax＝b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即r（A）＝r（A增）

2）设A是m×n矩阵，方程组Ax＝b

①有唯一解<== r（A）＝r（A增）＝n

②有无穷多解<== r（A）＝r（A增）<n

③无解<== r（A）+1=r（A增）

8、非齐次线性方程组解的结构

如n元线性方程组Ax＝b有解，设，η2，…，ηt是相应齐次方程组Ax＝0的基础解系，ξ是Ax＝b的一个解，则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。

1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，则ξ1-ξ2是Ax＝0的解

2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，则ξ+kη仍是Ax＝b的解

3）若Ax＝b有唯一解，则Ax＝0只有零解；反之，当Ax＝0只有零解时，Ax＝b没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）

四、题型及解题思路

1、有关n维向量概念与性质的命题

2、向量的加法与数乘运算

3、线性相关与线性无关的证明

1）定义法

设k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！）

①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A

②展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1，k2，…，ks的取值，得出所需结论。

2）用秩（等于向量个数）

3）齐次方程组只有零解

4）反证法

4、求给定向量组的秩和极大线性无关组

多用初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。

5、求矩阵的秩

常用初等变换法。

6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组

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