2004年4月全国高等教育自学考试线性代数试题
课程代码：02198
试卷说明： 表示矩阵 的转置矩阵， 表示矩阵 的伴随矩阵， 是单位矩阵，| |表示方阵 的行列式。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.排列53142的逆序数τ（53142）=（ ）
A.7 B.6
C.5 D.4
2.下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.设k为常数，A为n阶矩阵，则|kA|=（ ）
A.k|A| B.|k||A|
C. |A| D. |A|
4.设n阶方阵A满足 ，则必有（ ）
A. 不可逆 B. 可逆
C. 可逆 D.
5.设 ， ， ，则关系式（ ）
的矩阵表示形式是
A. B.
C. D.
6.若向量组（Ⅰ）： 可由向量组（Ⅱ）： 线性表示，则必有（ ）
A.秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B.秩（Ⅰ）秩（Ⅱ）
C.r≤s D.rs
7.设 是非齐次线性方程组 的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ）
A. B.
C. D.
8.设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（ ）
A. 也是正交矩阵 B. 也是正交矩阵
C. 也是正交矩阵 D. 也是正交矩阵
9.下列二次型中，秩为2的二次型是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知矩阵 ，则二次型 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.已知A，B为n阶矩阵， =2， =－3，则 =_________________.
12.已知 ，E是3阶单位矩阵，则 ＝_________________.
13.若 线性无关，而 线性相关，则向量组 的一个最大线性无关组为_________________.
14.若向量组 线性无关，则t应满足条件_________________.
15.设 是方程组 的基础解系，则向量组 的秩为_________________.
16.设 ， ，则 的内积（ ）＝________________.
17.设齐次线性方程组？＝ 的解空间的维数是2，则a＝______________.
18.若实二次型 正定，则t的取值范围是_________________.
19.实二次型 的正惯性指数p＝_________________.
20.设A为n阶方阵， ，若A有特征值λ，则 必有特征值_________________.
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
21.计算行列式 .
22.设实数 满足条件？＝ ，求 及 .
23.求向量组， ， ，的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大线性无关组表示。
24.给定齐次线性方程组
（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？
（2）当λ＝1时，求方程组的通解。
25.设矩阵 ，求
26.设向量 和 都是方阵A的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量 ，求 .
27.设矩阵 ，求正交矩阵P，使 为对角矩阵。
28.设二次型 经正交变换 化为标准形 ，求a，b的值。
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
29.设A为3阶实对称矩阵，且 .证明： .
30.已知矩阵 可逆，证明线性方程组 无解。
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