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2015年全国自考高等数学（工专）考试大纲微分中值定理和导数的应用

（一）考核的知识点

1.微分中值定理。

2.洛必达法则。

3.函数单调性的判定。

4.函数的极值及其求法。

5.函数的最值及其应用。

6.曲线的凹凸性和拐点。

7.曲线的渐近线。

（二）自学要求

本章主要介绍微分学在研究函数性态和有关实际问题中的应用，这些应用的理论基础是微分中值定理。

本章总的要求是：知道微分中值定理；熟练掌握求各种未定式的值的洛必达法则；会用导数的符号判定函数的单调性；理解函数的极值概念并掌握其求示；清楚函数的最值及其求法并能解决简单的应用问题；了解曲线的凹凸性和拐点的概念，会用函数的二阶导数判定曲线的凹凸性和计算拐点的坐标，会求曲线的水平和铅直渐近线。

本章重点：拉格朗日中值定理；洛必达法则的应用；函数单调性的判定；函数的极值、最值的求法的实际应用。

本章难点：函数最值的应用。

（三）考核要求

1.微分中值定理，要求达到“领会”层次。

1.1 能正确陈述罗尔定理，知道其几何意义。

1.2 能正确陈述拉格朗日中值定理并清楚其几何意义。

1.3 知道导数恒等于零的函数必为常数，导数处处相等的两个函数只能相差一个常数。

2.洛必达法则，要求达到“综合应用”层次。

2.1 清楚应用洛必达法则的条件，能熟练地使用洛必达法则计算和类型未定式的值。

2.2 能识别其他类型的未定式，并会应用洛必达法则求其值。

3.函数单调性的判定，要求达到“简单应用”层次。

3.1 清楚导数的符号与函数单调性之间的关系。

3.2 会确定函数的单调区间和判别函数在给定区间上的单调性。

3.3 会用函数的单调性证明简单的不等式。

4.函数的极值及其求法，要求达到“综合应用”层次。

4.1 理解函数极值的定义。

4.2 知道什么是函数的驻点，清楚函数的极值点与驻点和不可导点之间的关系。

4.3 掌握函数在一点限得极值的两种充分条件。

4.4 会求函数的极值。

5.函数的最值及其应用，要求达到“综合应用”层次。

5.1 知道函数量值的定义及其与极值的区别。

5.2 清楚最大值的求法并能解决比较简单的求最值的应用问题。

6.曲线的凹凸性和拐点，要求达到“简单应用”层次。

6.1 清楚曲线在给定区间上“凹”“凸”的定义。

6.2 会确定曲线的凹凸区间。

6.3 知道曲线的拐点的定义，会求曲线的拐点。

7.曲线的渐近线，要求达到“领会”层次。

7.1 知道曲线的水平和铅直渐近线的定义及其意义，会求曲线的这两类渐近线。

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